Hugarreikningur er þroskandi og nytsamlegur, en vanmetinn.

Einhvern tímann í kringum 1960 birtist athyglisverð grein í Readers Digest um stærðfræði og reikning.

Í henni var lögð áhersla á þátt æfingarinnar í því að verða góður í stærðfræði og njóta góðs af því alla ævi.

Stærðfræðin hefur nokkra sérstöðu meðal námsgreina hvað varðar það, að afar mikilvægt er halda þræðinum og vanrækja hana ekki, jafnvel þótt um tiltölulega stuttan vanrækslutíma sé að ræða, vegna þess að hvað byggir á öðru.

Þetta er ólíkt því sem gildir til dæmis um orðaforða í tungumálum en um stærðfræði og tungumál gildir alveg það sama, að æfingin skapar getuna.

Allir þekkja hvernig kunnátta í tungumálum byrjar að snaraukast eftir því sem dvölun í viðkomandi landi lengist.

Í greininni fyrrnefndu í Readers Digest voru gefnar upp nokkrar aðferðir í hugarreikningi, sem væru nytsamlegar. Gaman væri að vita hve mikið íslenskir kennarar gera af því að æfa nemendurna í slíku.  

Í mörgum þeirra er það fært í nyt að oft er auðveldara að draga frá eða leggja saman heldur en að margfalda eða deila.

Flestir þekkja til dæmis það að margföldun með 9 er fljótlegust með því að margfalda fyrst töluna, sem margfalda á, með 10 (bæta núlli við)  og draga síðan töluna sem margfaldi átti frá .

Dæmi: 9x67 er sama og 670 mínus 67= 603.

Sömuleiðis að margfalda með 11 með því að margfalda fyrst töluna, sem margfalda á, með 10 (bæta núlli við) og bæta síðan við tölunni, sem margfalda átti.

Dæmi: 67x11 er sama og 670 plús 67 = 737.  

Sama gildir um tölur sem 9 eða 11 ganga upp í.

Ef margfaldað er til dæmis með 18 er best að margfalda fyrst með 2, bæta núllí við ( sama og að margfalda með 20) og bæta síðan 1/10 við útkomuna til að fá endanlega útkomu.

Svipað gildir um 27, 36, 45, 54 ...o.s.frv.

Og ef um margföldun með tölum sem 11 ganga upp í gilda svipaðar reglur.

Ef margfaldað er til dæmis með 33 er fyrst margfaldað með 30 og síðan bætt 1/10 við útkomuna til að fá endanlega útkomu.

Dæmi: 21x33 er sama og 630 plús 66 = 696.

Ef verið er að leysa hugarreikningsdæmi gróft er oft hægt að flýta fyrir sér með því að "slumpa".

99 x 101 er nokkurn veginn sama og 100 x 100 = 10.000. (Nákvæmt svar er 9.999 og þarf ekki annað en líkindahugsun, hlutfallaskilnign,  til að finna það út án þess að framkvæma margföldunina, því að prósentvís er talan 1 sem skekkja frá 100 í 99 stærri en talan 1 upp á við í tölunni 101 miðað við 100. Útkoman hlýtur því að verða lægri en 10.000) Auk þess sést strax að 9 hlýtur að verða lokatalan í útkomunni)

88 x 102 er líka nokkurn veginn það sama og 100x100. (Nákvæm útkoma 9.998)

46 x 54 er nokkurn veginn það sama og 50x50. 

Í mörgum tilfellum þegar margfaldað er með tveimur tölum getur stundum verið ágætt til einföldunar að helminga aðra töluna, sem nota á í margföldun, en tvöfalda hina.

Dæmi:  14x3 er sama og 7x6=42.

Að margfalda með 5, 50, 500, 5000 er einfalt. Fyrst er margfaldað með 10, 100, 1000, 10.000 og síðan deilt með 2.

Talan 4 er sama sem 2x2 og þessa staðreynd er hægt að nota sér, bæði í margföldun og deilingu.

Dæmi: 37x4 er sama og 37x2x2.  Margföldunin fer fram í tveimur einföldum þrepum:   37x2=74.   74x2=148.

Ein góð regla er sú, að til þess að forðast stórfelldar skekkjur sé ágætt að finna fyrst út sem snöggvast af hvaða stærðargráðu útkoman muni verða.

Dæmi: 87x117 eru eitthvað í námunda við 10.000, líkast til um 3% hærri tala en 10.000. (117 er tæplega 3% hærri tala en 113, sem er 13 meira en 100, en 87 er 13 lægri en 100.

Og hugarreikningsæfing í notkun prósentureiknings er gulls ígildi ef fólk vill flýta fyrir sér og verða ekki strand ef það vantar vasatölvu eða skriffæri.

 

 

 

Hvernig verða menn góðir í stærðfræði?

Athugasemdir

[Haukur Kristinsson (IP-tala skráð) 18.12.2013 kl. 20:36]

Svisslendingurinn Leonhard Euler (1707-1783) er talinn einn mikilvirkasti stærðfræðingur sögunnar. Um hann er til skemmtileg saga, sönn eða ósönn, skiptir ekki máli.

Í barnaskóla hafði kennarinn sett börnunum það dæmi að leggja saman allar tölur frá 1 upp í 100. Eftir stutta stund rétti Leonhard upp hendina og sagðist veri búinn með dæmið. Hinir krakkarnir voru enn að krota niður talna dálkinn.

Svar hans var rétt, 5050, en kennarinn taldi Leonhard hafa vitað útkomuna, en svo var ekki.

Sá litli áttaði sig á því að 1+99 væri 100. Einnig 2+98, 3+97, 4+96...............48+52 og 49+51. Sem sagt 49 sinnum 100 = 4900. Eftir standa svo tölurnar 50 og 100.

Þessir hæfileikar kallast á ensku; deductive reasoning, deductive logic og er auðvitað hægt að þjálfa með nemendum.

[Þorvaldur S (IP-tala skráð) 18.12.2013 kl. 21:14]

Hefði ekki verið einfaldara að margfalda 101 með 50?

[Haukur Kristinsson (IP-tala skráð) 18.12.2013 kl. 21:22]

Hárrétt Þorvaldur S. Skörp athugun.

[Þorsteinn Briem, 18.12.2013 kl. 22:07]

Klikkaðir samt á þessu dæmi, Ómar minn:

Hefur graðgað í sig fimmtíu tonn af Prins Pólói

[Már Elíson, 18.12.2013 kl. 22:32]

Það sem þú klikkaðir á, Mr. Breim (að sjálfsögðu) var, að Ómar var á sínum tíma að námunda.

En hvernig áttir þú að skilja það....?...sem ert enn að luma á copy/paste í kjallaranum hjá þér ?

Bara illa innrættur.

[Þorsteinn Briem, 18.12.2013 kl. 22:55]

Þú getur að sjálfsögðu ekki látið það vera frekar en fyrri daginn að uppnefna hér fólk og heldur því síðan fram að aðrir séu illa innrættir, Már Elíson.

Hef einmitt fengið verðlaun fyrir gott innræti og á fimm þúsund vini á Facebook.

Þú átt hins vegar enga vini og hefur verið margflengdur af jólasveinunum fyrir fávitahátt, öfgahægristefnu, leti og ómennsku.

Og hefur aldrei fengið í skóinn.

Ómar Ragnarson hefur að sjálfsögðu ekki graðgað í sig fimmtíu tonn af Prins Pólói.

[Ágúst H Bjarnason, 19.12.2013 kl. 07:43]

Þegar ég  var í menntaskóla og háskóla voru vasatölvur ekki til, þær voru rétt handan horns um það bil sem ég lauk námi.  Fyrsta tölvan sem ég lærði á (IBM-1620) er nú á Þjóðminjasafninu... :-)

Við notuðum því óspart reiknistokk við að reikna dæmi, jafnvel með stórum tölum.  Þá gat verið gott að námunda svarið í huganum eða á blaði. Að reikna með reiknistokk er að sumu leyti sambland af hugarreikningi og reikningi með reiknivél  og hefur það ýmsa kosti fram yfir það að nota eingöngu reiknivél.

Þegar reiknistokkur er notaður, þá þarf maður að henda reiður á fjölda aukastafa í svarinu.  Til dæmis er í rafmagnsfræðinni oft verið að margfalda eða deila með örlitlum og risastórum tölum og getur þá verið hætta á villum ef maður hefur ekki tilfinningu fyrir útkomunni, en það er nauðsynlegt þegar reiknistokkurinn er notaður.  Maður reiknar sem sagt gróflega eða námundar í huganum.  Þessi tilfinning fyrir tölum hverfur að nokkru leyti þegar vasareiknivél er notuð og verða þá stundum til fáránlegar villur sem menn skynja ekki og taka því ekki eftir.

Sjálfur hef ég oft notað svipaðar aðferðir fyrir hugarreikning og Ómar kynnti, en ekki þó kerfisbundið og ekki svona ítarlega.      Svona brellur mætti gjarnan kenna í skólum landsins.

[HH (IP-tala skráð) 19.12.2013 kl. 11:09]

Óttalegur jólasveinn

Vinsæll veður snjóinn

Stundum nefndur jólaSteinn

Skildi hann fá í skóinn

Vinsamlega ekki copy, paste, einkaréttur

[Þorsteinn Briem, 19.12.2013 kl. 11:29]

Lærðu nú bæði bragfræði og stafsetningu, HH.

[Jón Logi (IP-tala skráð) 19.12.2013 kl. 16:17]

Vissuð þið það, að tila að mæla tvöföldun, þá notar maður töluna 70 og deilir henni með þeim vexti sem er konstant.
(72 er nær lagi)
Eða....að eftir að tölunni 1 sleppir þá má taka hvaða 3 tölur samstæðar sem er og margfalda saman, - það er alltaf hægt að deila 24 í án þess að úr verði brot. Byrjat á 2x3x4....
Stærðfræðin getur verið þræl-skemmtileg.

[Pétur D. (IP-tala skráð) 19.12.2013 kl. 21:35]

Niðurstöður þessarar norsk-íslenzku rannsóknar segja samt ekki allan sannleikann, sem er sá að til þess að einhver geti orðið góður í stærðfræði með því að æfa sig, þá verður hann (eða hún) að hafa hæfileika til að tileinka sér stærðfræðilega hugsun, og þessi hæfileiki er meðfæddur, því að sumir hafa hann ekki og þá munu þeir aldrei geta orðið stærfræðingar sama hvað þeir æfa sig mikið. Sbr. "greindir" Gardners. Meðfædd rökhugsun er ekki lærð, en er hægt að þjálfa og þróa með æfingum.

.

Persóna, sem hefur stærðfræðilega eiginleka og rökhugsun mun sjálfkarfa byrja að æfa sig með hugarreikningi og vita hvað sé vert að æfa og kasta sér út í það, það er meðfæddur hæfileiki (stærðfræðigreind), en þeir sem ekki hafa þennan meðfædda hæfileika munu forðast eins og heitan eldinn að gera jafnvel einfaldasta hugarreikning og þótt þeir séu neyddir til að æfa stærðfræði, þá munu þeir aldrei nokkurn tíma fá neinn skilning fyrir henni, en í mesta lagi geta verið í bókhaldi. Til þess að vera lélegir í stærðfræði, þurfa menn ekkert endilega að vera talnablindir, en í stðinn fyrir stærðfræðigreind hafa þeir eitthvað annað í staðinn, t.d. listræna hæfileika.

.

Hæfileiki til rökhugsunar er meðfæddur og rökhugsun er skilyrði fyrir því að geta tileinkað sér stærðfræðihugsun. Þegar ég var í skóla sem barn og unglingur var með mér í bekk strákur, sem var algjört stærðfræðiséní og gat útséð lausnir á stærðfræðidæmum sem var fyrir eldri krakka. Hann var líka mjög góður í skák. Hann hafði einmitt þennan meðfædda hæfileika. Enda fór hann að kenna stærðfræði þegar hann hafði lokið námi. Hvernig það gekk, veit ég ekki, enda er hvorki hægt að yfirfæra hæfileika né þekkingu frá einum einstaklingi til annars. Hins vegar hefur hann frekar lítið pólítískt vit (rangar skoðanir). Enda getur enginn verið góður í öllu.

[Pétur D. (IP-tala skráð) 19.12.2013 kl. 22:12]

Ég vil bæta við, áður en einhver fer að benda mér á það, að þótt rökhugsun sé nauðsynlegt skilyrði til að geta lært stærðfræði vandræðalaust á öllum stigum, þá er það samt ekki nægjanlegt. Það þarf líka skilning og tilfinningu fyrir tölum, breytum og föllum. Helzt líka hæfileika til að geta nýtt sér stærðfræðikunnáttuna í eitthvað nytsamt, s.s. hagnýt vísindi.

.

Hins vegar tel ég að sumir þeir stærðfræðingar, sem eru orðnir dósentar og prófessorar í stærðfræði forðist helzt alla tengingu við raunveruleikann, hafa einfaldlega horfið inn í óþekktan heim hreinnar stærðfræði, þar sem engin mengandi hugsun um hagnýtingu kemst inn. Þannig hugsuðu líka Forn-Grikkir eins og Pyþagoras og nú erum við komnir heilan hring. Eini munurinn er sá, að stærðfræðin er orðin þúsundfalt flóknari nú en þá.

[Jón Guðmundsson (IP-tala skráð) 21.12.2013 kl. 20:05]

Sæl öll.

Vildi bara leiðrétta smá varðandi söguna hér efst í athugasemdum. Hún er um Carl Friedrich Gauss; ekki Leonhard Euler. Hann sýndi mikið innsæi í stærðfræði sem krakki og kollvarpar einn og sér þeirri kenningu að stærðfræðikunnátta sé einungis æfð. Euler var mikill snillingur líka.